三角形の垂心の位置ベクトルの計算

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【一番簡単な解き方の秘訣】
　（あるベクトルｍとｃとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルｍとｃを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして、
（２）そして、ベクトルｍとｃが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）

　ここでは、この一番簡単な解の秘訣に従わないで、問題を解いてみます。すなわち、ここでは、「（２）ベクトルｍとｃが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作る」ことをしないで、別のベクトル方程式を作って問題を解いてみます。

【問０】三角形の垂心Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

【解答】
以下の図のような三角形を考えて、ベクトル方程式を解いてベクトルＤＯの解の公式を計算します。 

　ここで、互いに直交する単位ベクトルｘとｙでベクトルｂをあらわすと、そのベクトルｂを９０度回転させたベクトルｐを上の式のように定義して作ることができます。
　ベクトルｂを９０度回転させたベクトルｐは、ベクトルｂの成分を入れ替えて、片方の成分をマイナスにすることで作れます。

　また、ベクトル（－ａ）とベクトルｂの成す角度∠ＣのｃｏｓＣをβとおいて、以下のように式を整理しておきます。

　このベクトルｐを使って、三角形の垂心Ｏを与える以下のベクトル方程式を作ります。 

　以下のように、べクトル　ＣＯを２つの経路であらわして、その２つの式のベクトルＣＯが等しいものとして、ベクトル方程式を解きます。 

ここで、上の式の未知数ｂ_１については、より確かな数βを使って消去しました。次に、２つの式のベクトルＣＯが等しいとしたベクトル方程式を作ります。

上の式のように、ベクトルを与える未知数ｍとｕを計算する連立方程式が得られました。
この連立方程式から、以下のように、ｕを消去してｍを与える式を求めます。 

　この結果を使って、ベクトルＤＯが以下のようにあらわせます。

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