2015年6月24日水曜日

rとsが線分ozに関して対称な位置にある証明

この解答の元の問題はここをクリックした先にあります。

【問】
 複素数rとsとzに関して以下の式が成り立つとき、
rとsが線分ozに関して対称な位置にあることを示せ。

【解答1】
ベクトルrとSの、ベクトルZへの正射影が等しく、ベクトルrとSの、ベクトルZに垂直なベクトルへの正射影が、
符号が逆で絶対値は等しい。
そのため、rの絶対値とSの絶対値が等しい。
また、三角形OrZと三角形OSZは合同である。
そのため、
rとSは線分OZに関して対称な位置にある。
(証明おわり)

【解答2】
以下の関係が成り立つ。
よって、ベクトル(r+s)がベクトルZに平行である。
ベクトルrとSの和がベクトルZに平行なので、
ベクトルrとSの、ベクトルZに垂直な成分は、符号が逆で絶対値が等しい。
また、
が成り立つ。
そのためベクトルrとSの、線分OZへの正射影が等しい。そのため、rとSは、線分OZに垂直な1つの直線上にある。
また、
ベクトルrとSの、線分OZに垂直な成分は、符号が逆で絶対値が等しいので、
ベクトルrとSは線分OZに関して対称なベクトルである。
(証明おわり)

【解答3】

上図において、直線OZに関して点sと点Rが線対称な位置にあるものとする。
その四角形OSZRの各点の複素数を複素数zで割り算する。
得られた複素数があらわす四角形O(s2)(z2)(r2)は、四角形OSZRに相似な第2の図になる。その点(s2)と点(r2)の複素数は互いに共役な複素数になる。そのため、以下の公式が成り立つ。

(公式の導出おわり)

リンク:
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2015年6月13日土曜日

複素数平面の計算公式を使って円周角の定理を示す

このページは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問】円周角の定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で円周角の定理があらわされることを計算して試してみましょう。
(注意)オイラーの定理「exp(iβ)=(cosβ+isinβ)」は、前提条件として使ってください。
この問題の目的はオイラーの定理を証明することでは無く、
(cosβ+isinβ)をexp(iβ)であらわした方が式が簡潔だからです。

【解答1】
 この問題は、ベクトルの難問ですが、

複素数平面の計算公式
を適用すると、以下の様に簡単に解けます。
先ず、図を以下の図に書き換えて問題を解きます。

上図において、
という関係があることに注目し、
複素数平面の計算公式を適用する。
ここで式の項を置き換えたAは実数です。
更に計算を進めます。
 ここで、Bは実数である。
(解答1おわり)

【解答2】
以下の計算公式が成り立ちます。

この公式を使って、以下の計算ができる。

(解答2おわり)

 以上のように、複素数平面の計算公式により、円周角の定理を簡単に示すことができました。

 ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと簡単になる場合が多いです。

リンク:
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する
複素数計算の公式を覚える
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