2016年11月23日水曜日

三角形の垂心の高さの解答

これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

【問1】 

 上の三角形において、垂心Oの高さmが、
m=a1×a2/h
であらわされることを証明せよ。

【解答】
先ず、以下の様に図に同じ角度を書きこみます。
すると、三角形BDOと三角形ADCが相似であることがわかります。
その相似な三角形の辺の比が等しい式から、
垂心の高さmを与える式が導かれます。
(解答おわり)

(補足)
 なお、辺CAの長さ=b、辺ABの長さ=cとし、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、
高さh=c・sinB
=2RsinC・sinB,
m=c・cosB・b・cosC/h
=2RsinCcosB・2RsinBcosC/h
=2RcosBcosC,
となり、
高さh=2RsinB・sinC,
  m=2RcosB・cosC,
という対称的な関係があります。
三角形の垂心の関係線分の長さは、以下の図の様に、三角比で表す長さのデパートになっています。
また、この三角比であらわす長さのデパートから、
以下の公式が成り立っていることも分かります。
cosA=sinBsinC-cosBcosC
この公式は、高校2年で学ぶ三角関数の加法定理をあらわしています。

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