2016年12月31日土曜日

最初に戻る確率の入試問題8の解答

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】(難問)
「一つのサイコロを振り,出た目が4以下ならばAに1点を与え,5以上ならばBに1点を与える」 
という試行を繰り返す。
(1)AとBの得点差が2になったところでやめて得点の多い方を勝ちとする.n回以下の 試行でAが勝つ確率pを求めよ。
(1992 一橋大)

【解答】
先ず、以下の樹形図を書いて問題を整理する。
図と確率を整理して書く。
最初の状態が繰り返しあらわれることがわかりました。
この最初の状態が問題の鍵です。
最初の状態が繰り返される確率を使ってAが勝つ確率を計算する。
 n=2回目からn=2k+2回目までにAが勝つ確率は上の式で計算できる。
これを、一般化した式で書く。
 この式は、k=0の場合も正しい答えを与える。
よって、この問題の答えは、以下のようになります。
nが奇数回の場合は、n-1回=偶数回目に最初の状態に戻ってからの1回目であるのでAもBも勝っていない状況にあるか、
あるいは、n-1回目か、それ以前にAが勝っている状態にあることが可能である。
(解答おわり)

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2016年12月30日金曜日

自然数の数の入試問題7の解答

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【問1】
3桁の自然数のうち、5の数字を1回以上用いている奇数の数を求めよ。
(神奈川大・経)

【解答1】
先ず、問題の一部で良いので、とにかく図に書きます。
事象Tは3けたの奇数の数をあらわします。
3桁目が1〜9の9個。
2桁目が0〜9の10個。
1桁目が奇数の数の5個。
合わせて:
T=9×10×5個です。
Oの余事象を計算する:
(解答おわり)

【解答2】
 大学に入って「組み合わせ数学」の授業を受けると、以下のきれいな解き方を教わります。
 努力して大学に入って、ぜひ「組み合わせ数学」の授業も受けてください。

(解答はじめ)
先ず、以下の関係式が成り立ちます。
この関係式を計算する。
(解答おわり)

【解答3】
 以下の解答では、過不足無く数え上げることが大切です。しかし、その足し合わせる領域を間違え易いという問題があります。
 その間違いを防ぐために、場合の数を数える式を書く都度に左の図を塗り込んでいき、全部の領域を過不足無く塗りつぶす式を作って下さい。
(解答おわり)

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2016年12月29日木曜日

模様数と確率分の積を考える確率の入試問題5の解答

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【問1】
 赤玉3個と白玉7個が入っている袋から無作為に1個を取り出し、 色を確認してから袋に戻す操作を30回繰り返すとき、 赤玉を何回取り出す確率が最も大きいか答えよ。
(2013年 武庫川女子大)

【解答】
 先ず、樹形図の糸=事象の連鎖を以下のように書いて問題を整理する。

樹形図の糸と事象の連鎖を以下の図のように対応付けて考える。

これで、事象の連鎖の確率=樹形図の糸の太さがわかる。


それと、問題の一部で良いので、とにかく図に書きます。
30回の試行の事象の連鎖において、赤の数が同じ事象の連鎖=樹形図の糸は、同じ確率=樹形図の同じ太さの糸である。
 赤の数毎に事象の連鎖を1まとめに分類することは、(赤の数による)同じ確率の事象の連鎖を集める(樹形図における同じ太さの糸を集めた枝を作る)ことに相当する。
 これに従って、同じ太さの糸を集めた枝を持つ以下の樹形図を書いて問題を整理する。
赤玉n個を取り出す場合の確率を計算する:
次に、答えと思われる取り出し個数30×(0.3)=9個の前後の個数を比較する。
引き算よりも割り算の比較が簡単そうなので割り算して比較する。
赤9個の確率が一番大きい。
次に、一般的にこれが成り立つことを証明する計算を行う。

nが8個以下の場合は、n+1個取り出す方がn個取り出すよりも確率が高い。
nが9個以上の場合は、n+1個取り出す方がn個取り出すよりも確率が低い。
よって、9個取り出す確率が最も高い。
(解答おわり)

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2016年12月28日水曜日

模様内模様を考える確率の入試問題6の解答

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【問1】(難問)
さいころをn個同時に投げるとき、出た目の数の和がn+3になる確率を求めよ。
(2006年 京都大学)

【解答】
先ず、問題の一部で良いので、とにかく図に書きます。
樹形図を書いて整理する。

(2と3の目が出る場合) 
 このうち(2)の、2と3の目が出る場合は: 
(n-2)個のさいころの目が1であり、
2個のさいころの目が1ではない(2か3の目)場合である。

この場合の確率の計算は以下の様に計算する。
先ず上図の様に、2か3の目が出る2つのさいころの場所の模様の数を計算します。
次に、上図の様にその模様の内部を2にするか3にするかの模様内模様の数を計算します。
 これら2つの組み合わせの数の積が場合(2)における全模様の数です。

 こうして、解答のめどが立ったら、もう一度問題に注意します。
この問題は、さいころの数nが定まっていない問題なので、nの数によっては、上の場合が生じ得ないこともあるので、注意します。

(A) n≧3の場合の確率:

(式のチェック)
このように変数nの式を求めたら、この式に間違いが無いかをチェックする。
n=3の場合を代入すると、
3×4×5/6=10/6 になる。
(n=3の場合は、
2と3が出る組み合わせが3×2=6通り、
4が出る組み合わせが3通りあり、
全て1になる組み合わせが1通りあり、
合計10通りの組み合わせがあるので、
この答えは正しいことが確認できた。)

(B)n=2の場合の確率:
この計算でn=2の場合の答えが、(A)で得た、n≧3で得た計算式であらわせるかどうかの知的好奇心によるチェックをすることを忘れないようにしましょう。
計算の結果、あらわせることがわかりました。


(C)n=1の場合の確率:
この計算でもn=1の場合の答えが、(A)で得た、n≧3で得た計算式であらわせるかどうかの知的好奇心によるチェックをすることを忘れないようにしましょう。
計算の結果、これもあらわせることがわかりました。


よって、(A)の場合の式がn≧1の全ての場合の答えをあらわす。
(解答おわり)

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2016年12月27日火曜日

空試行を考える確率の入試問題4の解答

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【問1】
中の見えない袋の中に同じ大きさの白球3個、赤球2個、黒球1個が入っている。
この袋から1球ずつ球を取り出し、黒球を取り出したときに袋から球を取り出すことをやめる。
ただし、取り出した球はもとに戻さない。
この試行を行なうとき、以下の問いに答えよ。
(1)取り出した球の中に、赤球がちょうど2個含まれる確率を求めよ。

(2006年 大阪府立大)

【基本樹形図による解答1】
先ず、問題の一部で良いので、とにかく図に書きます。
配置図を具体的図に書きます。
 以下の基本樹形図を書いて問題を整理します。
この樹形図は、以下の図のように、(赤球2つ模様数)の枝を分岐させた後で節に合流させ、その節から再び(赤模様中配置順数)の枝を分岐させた形で樹形図を書いています。
上図のように、樹形図の最小構成要素の糸の形を、根から展開し、節に収束させ、再び節から展開する、波状の形を持たせた樹形図です。

糸の太さ(確率)は、以下の事例で示すように、赤球の数と白球の数と黒球の数の合計数(以下の事例では4球)によって定まる。
すなわち、取り出す球の数が同じ場合は、出る球の順番がどうであれ、1本の事象の連鎖の糸の太さ(確率)が同じになる。
その理由は:
(そのイベントで、1つの事象が起きる確率)
=1/(そのイベントで選べる球の数)
だからであり、
(イベントの連鎖で1つの事象の連鎖(糸)が起こる確率)
=各イベントで1つの事象が起きる確率の積
だからです。

 この最細枝の確率に赤模様中配置順数と白模様中配置順数を掛け算すれば枝の太さが計算できる。
よって、それらの総和の、求める確率kは以下の式で計算できる。
(解答おわり)

【解答2】
(解答2の考え方)
  解答1で用いた基本樹形図は枝の末端の太さが揃っていないので不便です。
 解答1の球の並びの図の(1-1)では、3回目の球の取り出しで黒球を取り出したので、それ以上袋から球を取り出すことを止めます。
 しかし、(1-2)の場合では、3回では球の取り出しが終わっていないので、(1-1)が(1-2)の場合よりもどれだけ起こり得るのか、起こり得ないのか、比較するにはどうしたら良いか。
 これを改善するために、黒球が出た後でも、下図の様に球を取り出す空試行を行なう事を想定します。
 空試行を行なうことを反映して枝を再分割して、枝の末端の太さを揃えた以下の樹形図を作ることができます。
 この樹形図の意味は以下の様に考えます。
 上の樹形図のポイントを下図のように書き出します。
 解答1の(1-2)の場合の確率は、袋から3個の球を取り出して(1-2)の途中の状態に至る確率に、残りの3個の球のうち(黒)を取り出す1/3の確率を掛け算した値が最終的な(1-2)の確率です。
 ここで掛け算する1/3の確率は、袋から3球を取り出した後で残りの3個の球を選べる3つのバラエティのうちの1つを選んで(黒)を取り出す確率です。

 別の視点から考えると、
 解答1の(1-1)の後では、球が袋の中に3個の球が残っているので、その残りの白球の取り出しのバラエティが3!組あります。
 それに対し解答1の(1-2)の後では、(1-2)で4球を取り出すことでバラエティの一部が使われて、袋の中の球が2個に減ったので、その残りの白球の取り出しのバラエティが2!組に減りました。
 解答1の(1-1)、(1-2)それぞれの場合の数に、残り白球が選べるバラエティを掛け算した上で、全部の球6個を取り出すあらゆる場合の数の6!で割り算して求めた値が(1-1)と(1-2)それぞれの確率であるとも言えます。

 例えば、(1-1)の場合の確率を、
(1-1)の場合の数を、球を3個取り出す球の選択の自由度の数(=6×5×4)で割り算して求めた値は、
 (1-1)の場合の確率を、(1-1)の場合の数に3!のバラエティを掛け算した上で、全部の球6個を取り出すあらゆる場合の数の6!で割り算して求めた値と同じです。

どちらの計算方法で計算しても確率の値が変わらないのです。

 この計算方法は、確率の値が変わらない計算方法であって、玉を取り出す回数が変わっても通用する確率の計算方法です。

 結局、(1-1)でも(1-2)でも、(1-3)も、(1-4)も、残りの球も空試行で取り出す全ての場合の数を計算した上で、
それらの場合の数を、全部の球を取り出す場合の数6!で割り算した値が、それぞれの場合の確率を表しています。
 このように考えて枝を再分割した樹形図が解答2の樹形図です。

 解答2の樹形図を使って、それらの総和の、求める確率kは以下の式で計算できる。
(解答おわり)

【解答3】
 以下の様にして、空試行のテクニックも使って、場合の数をことごとく数え上げて確率を計算することもできます。

黒玉を取り出す前に赤玉を2個取り出す場合の樹形図。
(ただし、黒玉を取り出した後も玉を取り出す空試行もあらわす。)
この樹形図で、Aは、残りのどの玉を取り出しても良い場合をあらわします。 
黒玉を取り出す前に赤玉を2個取り出す場合の数は:
よって、黒玉を取り出す前に赤玉が2個取り出される確率は:
(解答おわり)

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空試行を考える確率の入試問題3の解答

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】
1個のサイコロを振るという試行を繰り返す。
奇数の目が連続して3回出るか偶数の目が通算して4回出たら試行を終了するものとする。
(1)この試行が6回以下で終了する確率を求めよ。
(2)この試行がちょうど7回で終了する確率を求めよ。
(2003年 上武大)


【解答】
(1)の解答:
先ず、以下のように、事象の連鎖を表現します。
奇数を1とし、偶数を0として、1回目から6回目までの事象の連鎖の種々の場合を以下のように表現します。
終了しない場合:
(1,0,1,0,1,0)
(1,0,1,1,0,1)

(終了する場合A)奇数の目が連続して3回出る
(0,1,0,1,1,1)
(終了する場合B)偶数の目が通算して4回出る
(0,1,0,1,0,0)

(問題の注目点)
(場合A)奇数の目が連続して3回出る。
(場合B)偶数の目が通算して4回出る。
この2つの場合の、場合Aや場合Bが生じて終了条件が満足された後でも、空試行を続けることにして、どの場合でも試行を6回まで行なうようにしてみる。そうしても、その6回の試行のどの連鎖であっても、場合Aと場合Bが同時に生じる事が無い、という問題の特徴があります。
 そのため、空試行を含む6回の試行においては、場合Aと場合Bとは、互いに独立して生じる事象の連鎖と考える事ができ、1つの場合毎に事象の連鎖の確率を計算して加え合わせる事ができます。

先ず、場合Bの確率が、場合Aの確率よりも求め易いので、先に計算します。

(場合Bの計算)
 この場合Bの確率は、以下の樹形図を書いて計算することができる。
(補足)
 この樹形図は、枝の分岐の割合が、太さが単純に2分の1なので、各枝の太さが簡単に計算できました。しかし、枝の分岐の割合が複雑な場合は、この図で各枝の太さの計算を繰り返すのが煩わしくなるので、要注意です。

(場合Bの優れた別解)
 そのため、以下の樹形図を書いて枝の数を数えて確率を計算する方が、計算を楽にします。(○は偶数、×は奇数です)

(場合Bの別解2)
 先に作った樹形図では、最細枝の太さが揃っていないので、計算が若干面倒です。そのため、以下の樹形図のように、通算4回の偶数が出た後で空試行をすることにして試行回数を6回にそろえる。
すなわち、通算4回の偶数が出た事象:
(0,0,0,0)
を、試行回数が6回の以下の事象の連鎖4つに分ける。
(0,0,0,0,0,0)
(0,0,0,0,0,1)
(0,0,0,0,1,0)
(0,0,0,0,1,1)
そうすると、事象の連鎖の糸(枝)の太さがどの場合でも同じになり、計算が楽になります。


この樹形図を使って場合Bの幹の確率は以下の式で計算できます。
(場合Bの解答おわり)

(空試行の意味)
 以上の解き方において、空試行を行なうやり方の空試行の意味を以下で説明する。
 試行が終了した後でも、試行が終了しない場合の数と比較できるようにするために、
試行が終了した場合も、試行が終了しない場合と同じ回数の空の試行を続けるものとする。
 それにより、6回までのあらゆる組み合わせで細分化した最細枝の数は2の6乗=64本になる。

 6回以下で終了条件(偶数通算4回)を満たす場合を数える部分樹形図を書く。条件を満たした後でも空試行を続ける。
 空試行も含めた6回の試行で、偶数が通算4回以上(奇数は通算2回以下)になるのが場合Bである。
 場合Bを6回の試行での奇数の通算数で場合分けして場合の数(最細枝の本数)を数える。 
 偶数(奇数)の通算数毎の、最細枝を成す6回の試行の事象の連鎖を以下に示す。

(1で奇数の事象を表し、0で偶数の事象を表す)
(0,0,0,0,0,0)  奇数が0個の事象の連鎖は1本。
(0,1,0,0,0,0)  奇数が1個の事象の連鎖は6本。
(0,1,0,0,1,0)  奇数が2個の事象の連鎖は、

6回の試行の事象の連鎖の総数は、

本ある。


 場合Bの部分樹形図を以下の図で書く。
この樹形図の場合の数(最細枝の数)に確率分の項を掛け算して場合Bの幹の確率を計算する。

(場合Aの計算)
 この場合Aの確率は、以下の樹形図を書いて計算することができる。
(補足)
 この樹形図は、枝の分岐の割合が、太さが単純に2分の1になったので、各枝の太さが簡単に計算できました。しかし、枝の分岐の割合が複雑な場合は、この図で各枝の太さの計算を繰り返すのが煩わしくなるので、要注意です。

(場合Aの優れた別解)
 そのため、以下の樹形図を書いて枝の数を数えることで、計算を楽にします。(○は偶数、×は奇数です)
偶数でも奇数でも良い場合をTとします。その場合の確率は1です。
上図の4つの場合は:
X,X,X: 確率は(1/2)の3乗
○,X,X,X: 確率は(1/2)の4乗
T,○,X,X,X: 確率は(1/2)の4乗
T,T,○,X,X,X: 確率は(1/2)の4乗
上図の4つの場合をチェックして、 
偶数(○)が通算4回に達する場合が無いことを確認した。

(場合Aの別解2)
 別解2として、試行が終了した後でも、試行が終了しない場合と比較できるようにするために、試行が終了した場合も、試行が終了しない場合と同じ回数の空の試行を続ける場合の樹形図を考えてみる。
(場合Aでは、残念ながらこの別解2は、かえって解き方を難しくする)
その場合Aの部分樹形図を以下の図で書く。
(注意)1つのイベントの結果の事象が奇数であるか偶数であるかを定めない最細枝(糸)の本数は、そのイベントの事象のバラエティに従って、事象が不定なイベント毎に2倍になる。
 ここで、
(1)6回行なう全部の組み合わせの数は2の6乗あります。
(2)偶数でも奇数でも良い場合をTとします。その場合の数は2です。
(3)上図の4つの場合は:
X,X,X,T,T,T: 組み合わせの数は2の3乗
○,X,X,X,T,T: 組み合わせの数は2の2乗
T,○,X,X,X,T: 組み合わせの数は2の2乗
T,T,○,X,X,X: 組み合わせの数は2の2乗

上図の4つの場合の確率は:
X,X,X,T,T,T: 確率は(1/2)の3乗
○,X,X,X,T,T: 確率は(1/2)の4乗
T,○,X,X,X,T: 確率は(1/2)の4乗
T,T,○,X,X,X: 確率は(1/2)の4乗

 この4つの幹が分離されていて、それぞれが同時に生じることが無い、独立した組み合わせである事を確認するため、この4つの幹の構成をあらわす樹形図全体を、3回目の事象の分離から始めた下図の樹形図であらわした。
 この樹形図によって、この4つの幹はきちんと分離されていて、それぞれが同時に生じることが無い、独立した組み合わせであって、数え上げに重複が無いことが確認できた。

 場合Aの、この部分樹形図のこの4つの幹(最細枝の束)の確率は、以下の値になる。
上図の4つの場合をチェックして、 
偶数が通算4回に達する場合も無いことを確認した。

(場合Bと場合Aの確率の和の計算)
 次に、場合Bと場合Aの確率を足し合わせて(1)の解答の確率を計算する。
((1)の解答おわり)

【(2)の解答】
先ず、Aの場合の確率を計算します。
次に、Bの場合の確率を計算します。
ここで、奇数の連続3回で終わってしまう場合を除外する注意をします。偶数の目が通算4回出るが、一方で奇数が連続3回出てしまう場合は、以下の4通りです。
上の4つの場合を除外した模様の数に確率分を掛け算して、Bの場合の確率を以下のように計算します。
次に、全ての場合を足し合わせて(2)の解答の確率を計算します。
(解答おわり)

(補足)解答を計算する場合に、解答の条件を外れる場合を除外して計算する注意が必要です。
 また、この問題では具体的にはあらわれなかったが、重複した数え上げを除外して計算する注意が必要です。

 リンク:
確率の問題を空試行を考えて解く
高校数学の目次