2018年1月20日土曜日

線分の長さが一定の証明

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】(難問)
円Oと、円Oの2つの直径ABとCDが与えられている。
円O上の任意の点PからAB,CDに下ろした垂線の足をそれぞれQ,Rとする。
線分QRの長さが一定になることを証明しなさい。

【証明開始】
以下の様にPOを直径にする補助円Mを書き加えます。
(1)
補助円Mの直径POは、円Oの直径ABの半分である。
そのため、補助円の直径の大きさは一定である。
(2)
∠PQO=90°
なので、QはPOを直径とする円上にある。
(3)
∠PRO=90°
なので、RはPOを直径とする円上にある。
(4)
∠QPR+∠QOR=180°
∠QOC+∠QOR=180°
∴ ∠QPR=∠QOC
すなわち、Pの位置及び円Mの位置にかかわらず、
∠QPR=一定
である。
(5)
 (1)~(4)により、
一定の大きさの直径POを持つ円M上の点Q,P,Rに関して、
弦QRは 一定の∠QPRを与える。
そのため、
その弦QRの長さは、Pの位置が変わっても同じ、一定の長さである。
(証明おわり)

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