等しい角度を傾きで比較する

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（難問）

点Ｏを原点とするＸＹ座標平面において、Ｙ軸上のＹ＝５の位置とＹ＝１の位置に点Ａと点Ｐがあり、
Ｘ軸上のＸ＝－２の位置とＸ＝６の位置に点Ｂと点Ｃがあり、
直線ＢＰと直線ＡＣの交点をＱとし、
直線ＣＰと直線ＡＢの交点をＲとするとき、
∠ＰＯＱ＝∠ＰＯＲ
となることを示しなさい。

【証明開始】
以下の様に直線ＢＱを高さ０の水平線と考え、その水平線上の各点の高さの比を（）の中に記載した図を書く。

この図から点Ａと点Ｃの水平線上の高さの比が４：（－４）＝１：（－１）であることがわかる。
そのため、下図のように、ＡＱ：ＱＣ＝１：１＝ｋ：ｋであることがわかる。

次に、直線ＲＣを高さ０の水平線と考え、その水平線上の各点の高さの比を（）の中に記載した図を書く。

この図から、点Ａと点Ｂの水平線上の高さの比が４：（－４／３）＝３：（ー１）であることがわかる。
そのため、下図のように、ＡＲ：ＲＢ＝３：１＝３ｓ：ｓであることがわかる。

これまで分かった線分の長さの比から、下図に示す点Ｑと点ＲのＸＹ座標を計算する。

点ＱとＲの座標と、直線ＯＱとＯＲの傾きが以下の様に計算できる。

直線ＯＱとＯＲの傾きの絶対値が等しいので、
∠ＰＯＱ＝∠ＰＯＲ
である。
（証明おわり）

【別の証明】
点Ｐを通りＢＣに平行な直線VSPTWを引く。

ＶＰとＰＷを求める。

三角形ＲＢＣを考えてＰＳを求める。

三角形ＱＢＣを考えてＰＴを求める。

（証明おわり）

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