2015年2月27日金曜日

極点から引いた円への接線の接点の位置ベクトルの一番簡単な計算

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問0】座標原点Oを中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの位置ベクトルを求めよ。

 先ず、この問題の円の中心Oから点A(a,a)までのベクトルを考えます。

 次に、この問題をもっと易しい問題に変換して解きます。

【問1】以下の点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの位置ベクトルを求めよ。

このように簡単化した問題は、すぐ上の式であらわしたベクトルmが点BとCをあらわす解があります。

 もう1つのやさしい問題を解きます。

【問2】
以下の点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの位置ベクトルを求めよ。
このようにベクトルOAの長さfが無限大の場合では、ベクトルOBは、その場合に値0を掛け算したベクトルmと、それに垂直なベクトルpの和の解になると解釈します。

 もう1つのやさしい問題を解きます。

【問3】
以下の点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCの位置ベクトルを求めよ。

このようにベクトルOAの長さfが√2の場合では、ベクトルOBは、その場合に値が1/√2を掛け算したベクトルmと、それに垂直なベクトルpの何倍かの和の解になると解釈します。

 次に、以上で得られた解から、一般的な解を以下のように推測します。
上の式のように、ベクトルOBの公式をハッキリした式で推測しました。
 また、この推測の結果は、この公式を導き出すための基準にするベクトルはベクトルmとそれに垂直なベクトルpを基準にしたら良いと示唆するという重要な指針(計算のガイド)を含んでいます。
 
 これで得た公式は推測であって、本当にこの式になるかの確証があるわけではありません。
 しかし、これで、公式の答えを予測できたので、正式な計算で公式を計算する道しるべができたという意味があります。
 このように、答えを予測する計算は、初めて未知の問題を解くときに大切な一歩であり、必要な計算です。是非、答えの予測計算を心がけて欲しいと思います。

 次に、正式な計算方法でこの公式を求めます。
 

【一番簡単な解き方の秘訣】
 (あるベクトルOBとABとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
(1)それらのベクトルOBとABを、互いに垂直な単位ベクトルmとpの合成であらわして、
(2)そして、ベクトルOBとABが垂直である条件として内積が0であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。)

 以下の図のような図を考えて、ベクトル方程式を解いてベクトルOBをあらわす公式を計算します。 


ここで、互いに直交するベクトルmとpと未知数sとtでベクトルOBをあらわす。

  ベクトルOBとベクトルABが直交するベクトル方程式を作って、それを解きます。

 このベクトルOBの式の形を整えるにあたって、先に予測した式になっているかを確かめながら、予測した式になるように式を変形しました。
 その結果、予測通りの式が得られました。
 この結果を使って、ベクトルOBが以下の図のようにあらわせます。

(計算を振り返ってどこが良かったかを考える)
 以上の計算で大事なポイントは、先に公式の解の形を予測してから正式な計算に取りかかった事でした。答えを予測してから正式な計算をしたことで、正式な計算が、「本当に予測通りの答えを導き出せるのか」という期待に背中を押されて計算できました。


 そして、式を計算していく過程で、どういう形の式に答えを導くべきかの目標がはっきりしているので、式を何に置き換えてまとめ上げるかの道に迷わず、答えを得ることができました。

 すなわち、先に予測していた事が、式を次にどのような形に変形したら良いかというガイドになりました。

 このガイドが無ければ、式の計算が最後の形にまで変形できなかったかもしれませんので、先に行なった解の推測の計算がとても大切な役割を果たしました。
  特に、先に行なった解の推測の計算は、問題を解くために、どのベクトルを基準にしたら良いかを示唆するという重要な指針を含んでいますので、問題を解くためにとても大切な役割を持っていました。

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2015年2月14日土曜日

原点の回りに回転した楕円の方程式から楕円の軸を計算する

この解答は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】
以下の方程式で表される図形が、回転した楕円であるか、回転した双曲線であるか、2本の直線であるかを判定する条件を求めよ。
 
【解答】
式1を以下のように変形して式2を求める。
この式2が無限に大きいxとyとで成り立ち得るか否かを考える。それが成り立たなければ、この式2で表される図形は双曲線にはならず、楕円である。

よって、以下の式で図形の形が判別できる。

(解答おわり)

【問2】
原点の回りに回転させた楕円の方程式から楕円の軸を計算せよ。
 すなわち、回転した楕円の方程式を、位置ベクトルに対するべクトルの関数Fを使って、以下の式であらわしたとき。

このように、系数A,B,Cを使ったX座標とY座標の関数で楕円があらわされたとき、
そのベクトル関数Fは、X座標の方向の単位ベクトルxと、Y座標の方向の単位ベクトルyを、系数A,B,Cを使った以下の式で新たなベクトルに変換する関数であると考えることができる。

 このベクトル関数によってベクトルの方向が変えられないベクトルgとhは、以下の図であらわすように、回転した楕円の軸方向のベクトルを表わしていると考えられる。
 その軸方向のベクトルgとhの、x座標軸と成す角度θのタンジェントtanθを求めよ。

【解答】
 そのベクトルg(又はh)を以下の式であらわし、以下のベクトル方程式を作る。
ここで、ベクトルgとhは、ベクトル関数Fによって方向が変えられず、それぞれ異なる倍率λ倍に長さが拡大される。
 そのように関数Fによって方向が変わらないベクトルg(又はh)を以下のようにベクトル方程式を設定することで求める。
上の連立方程式が得られた。
この式がX=Y=0以外のXとYの解を持つためには以下の式が成り立つ必要がある。
ここで、Y/Xは求めるtanθである。λの値が求められるとtanθの値も求めることができる。
λを以下のように計算しtanθを計算する。


これでtanθが計算できた。
これによりベクトルgとhの角度θがわかったのであるが、
この答えが正しいかどうかを以下にように検算する。
ベクトルgとhは互いに垂直であるので、この答えでベクトルgとhの内積を計算して、それが0になるかどうかを確認する。
 

上の計算で、たしかに、ベクトルgとhの内積は0になり、両ベクトルが直交することが確認できた。

(補足)
以下で計算した結果の、tan(2θ)をA,B,Cであらわす式は覚えやすい形をしている。

(補足2)
  この式は、A,B,Cを定義した式(設問以前の解説を参照)から、以下のようにして導き出すこともできました。 

(補足3)
  この問題は、グラフをあらわす式の1/bを-1/bに置き換えたグラフに対しても使える解き方です。すなわち、双曲線をあらわす式に対しても、その双曲線の軸ベクトルを求める方法としても使えます。


(補足4) 
 楕円の軸の回転角度θを与えるこの式は、何度おぼえても忘れます。その忘れ対策として、この式を以下の様にして素早く導き出しましょう。
(回転した楕円の式の係数2Bは、以下の計算ではBとしています。以下では、係数Bの定義が異なることに注意。)
先ず、上の図を思い描きます。
極座標で表した動径rが最大または最小になる角度α=θです。
そのため、以下のようにして動径rの微分の式を作ります。 
この式2の微分をf(α)の式に行います。
この式4が求める回転角θを与える式です。

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2015年2月11日水曜日

三角形の垂心の位置ベクトルをあらわす元のベクトルを何にするか

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

ページ内リンク:
▽解の推測の計算
▽一番簡単な解き方の秘訣
▽第1の解
▽解の変形
▽第2の解

【問0】三角形の垂心Oの位置ベクトルをもとめよ。

 この問題をもっと易しい問題に変換して解きます。

【問1】以下の直角三角形の垂心Oの位置ベクトルをもとめよ。

このように簡単化した問題は、すぐ上の式であらわしたベクトルDOの長さmの解
m=h
があります。

 もう1つのやさしい問題を解きます。

【問2】以下の直角三角形の垂心Oの位置ベクトルをもとめよ。

このようにベクトルDOの長さmが0になる条件が成り立っている場合では、その条件の場合に値が0になる辺a1とa2の積の項と他の何かの項(?)の積でベクトルDOの公式を推測します。他の何かの項(?)は未だ分からないでも良いと判断します。

 次に、問1の条件が成り立っている時に、問2で推測したベクトルDOの長さmの公式が問2で得た解に等しくなるように、他の何かの項(?)を定めて以下の式を求めました。

こうして、上の式のように、ベクトルDOの長さmの公式をハッキリした式で推測しました。
 また、この推測の結果は、この公式を導き出すための基準にするベクトルはベクトルaとそれに垂直なベクトルを基準にしたら良いと示唆するという重要な指針(計算のガイド)を含んでいます。

 
 これで得た公式は推測であって、本当にこの式になるかの確証があるわけではありません。
 しかし、これで、公式の答えを予測できたので、正式な計算で公式を計算する道しるべができたという意味があります。
 このように、答えを予測する計算は、初めて未知の問題を解くときに大切な一歩であり、必要な計算です。是非、答えの予測計算を心がけて欲しいと思います。

 次に、正式な計算方法でこの公式を求めます。
 

【一番簡単な解き方の秘訣】
 (あるベクトルBOとbが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
(1)それらのベクトルBOとbを、互いに垂直な単位ベクトルxとyの合成であらわして、
(2)そして、ベクトルBOとbが垂直である条件として内積が0であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。)

【第1の解】
 ここでは、この一番簡単な解の秘訣に従わないで、問題を解いてみます。すなわち、ここでは、「(1)それらのベクトルBOとbを、互いに垂直な単位ベクトルxとyの合成であらわす」ことをしないで、ベクトルBOを互いに垂直とは限らないベクトルaとbであらわして問題を解いてみます。


 つまり、先に行なった予測計算の結果が示唆している、「基準にするベクトルとして、 ベクトルaとそれに垂直なベクトルを基準にしたら良いという重要な示唆」をあえて無視してみます。 


≪この示唆を無視しない解き方は、ここをクリックした先にあります≫

(単位ベクトルを使わずとも、ベクトルaとそれに垂直な何かのベクトルを使うだけで解答がし易くなりますが、それもしないことにします)

 以下の図のような三角形を考えて、ベクトル方程式を解いてベクトルDOの長さmの公式を計算します。

ここで、ベクトルaとbを元ベクトルにして上の式のようにベクトルBOをあらわすことにする。
この答えはどの様になるか、以下で調べます。

ベクトルBOとベクトルbが直交するベクトル方程式と、ベクトルAOとベクトルaが直交するベクトル方程式を作ります。

 以下でこの連立ベクトル方程式を解いて変数sとtを計算します。


(第1の解おわり)

 この答えにより、上の式のように、ベクトルBOがベクトルaとbとであらわせました。

 しかし、この答えでは、先に予測した公式が見えません。このようにベクトルaとbを元にした式では、先に予測した公式を表現することができないということがこの答えによってハッキリ分かりました。

【解の変形】
 そのため、答えを表現するための基準にするベクトルを、以下の図のように、互いに垂直な単位ベクトルxとyに変更します。

 このベクトルxとyを使って、先に求めたベクトルBOの解を変形します。

(解の変形おわり)

 この解により、先に予測していたベクトルDOの長さmが以下の図のようにあらわせました。


【第2の解】
 ベクトルaとそれに垂直なベクトルhを使って、すなわち、単位ベクトルではないが互いに垂直なベクトルを使った解答を、
最初から述べます。
ここまでの計算は、以下の計算をするだけでも良かった。
次に、ベクトルBOとベクトルbが直交する条件(内積が0)を導入して未知数pを求めます。
(第2の解おわり)

以上で、垂心O点の高さを与えるベクトルDOの計算が、比較的簡単にできました。

(計算を振り返ってどこが良かったかを考える)
 以上の計算で大事なポイントは、先に公式の解の形を予測してから正式な計算に取りかかった事でした。答えを予測してから正式な計算をしたことで、正式な計算が、「本当に予測通りの答えを導き出せるのか」という期待に背中を押されて計算できました。


 そして、式を計算していく過程で、どういう形の式に答えを導くべきかの目標がはっきりしているので、式を何に置き換えてまとめ上げるかの道に迷わず、答えを得ることができました。

 すなわち、先に予測していた事が、式を次にどのような形に変形したら良いかというガイドになりました。


 先の予測の結果で、ベクトルaに垂直な方向のベクトルDOの長さの公式が予測されていました。この予測のガイドに忠実に従うならば、最初から、ベクトルaに平行な単位ベクトルxと単位ベクトルyを基準のベクトルにしてこの問題を解くべきでした。
 もし、そうしていれば、もっと簡単にこの公式を導き出すことができました

 そのように、先に行なった解の推測の計算は、問題を解くために、どのベクトルを基準にしたら良いかを示唆するという重要な指針を含んでいますので、問題を解くためにとても大切な役割を持っていました。

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2015年2月10日火曜日

三角形の垂心の位置ベクトルの計算

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【一番簡単な解き方の秘訣】
 (あるベクトルmとcとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
(1)それらのベクトルmとcを、互いに垂直な単位ベクトルxとyの合成であらわして、
(2)そして、ベクトルmとcが垂直である条件として内積が0であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。)

 ここでは、この一番簡単な解の秘訣に従わないで、問題を解いてみます。すなわち、ここでは、「(2)ベクトルmとcが垂直である条件として内積が0であるというベクトル方程式を作る」ことをしないで、別のベクトル方程式を作って問題を解いてみます。

【問0】三角形の垂心Oの位置ベクトルをもとめよ。


【解答】
以下の図のような三角形を考えて、ベクトル方程式を解いてベクトルDOの解の公式を計算します。 
 ここで、互いに直交する単位ベクトルxとyでベクトルbをあらわすと、そのベクトルbを90度回転させたベクトルpを上の式のように定義して作ることができます。
 ベクトルbを90度回転させたベクトルpは、ベクトルbの成分を入れ替えて、片方の成分をマイナスにすることで作れます。

 また、ベクトル(-a)とベクトルbの成す角度∠CのcosCをβとおいて、以下のように式を整理しておきます。

 このベクトルpを使って、三角形の垂心Oを与える以下のベクトル方程式を作ります。 
 以下のように、べクトル COを2つの経路であらわして、その2つの式のベクトルCOが等しいものとして、ベクトル方程式を解きます。 
ここで、上の式の未知数bについては、より確かな数βを使って消去しました。次に、2つの式のベクトルCOが等しいとしたベクトル方程式を作ります。
上の式のように、ベクトルを与える未知数mとuを計算する連立方程式が得られました。
この連立方程式から、以下のように、uを消去してmを与える式を求めます。 

 この結果を使って、ベクトルDOが以下のようにあらわせます。

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