三角関数の難問の問題の解答

この解答は、ここをクリックした先にある問題の解答です。

【問１】　
以下の図形のｔａｎθを求めよ。

（注意）この問題は、ラングレーの問題と呼ばれている有名な問題で、難問です。

当ブログでは、三角関数の問題として解きました。
この問題は難問ですので、
三角関数の展開にも、解き方の方向に迷う難しさがあります。

【解答１】
先ず、図形に、すぐわかる角度、長さを全部書きこんで、問題を見通し良くします。


角度を書いたら、二等辺三角形がみつかりました。

さらに、わかる角度、長さを図形に書きこみます。

これで、ｔａｎθを計算する情報がそろいました。
　（１）
この式１の分母は変形できないと考えますので、
分子だけ、変形する計算をすることにします。

ここで分母にあらわれている角度５０°を別の角度であらわせるかを考えます。

ここで、右の項にあらわれている角度２０°を別な角度であらわすことができるか考えます。

式１の分子が簡単になりましたので、
次に、式１からｔａｎθを計算します。

（解答おわり）

（補足）
上の解答の最後の部分の計算は、
「三角関数の単純化パターンの公式」
に従って、以下のように計算することもできます。

（補足おわり）

【解答２】
以下の図の頂点Cの角度θのｔａｎθを求める問題にして問題を解く。

　先ず三角形OABの外接円を書いて、外接円の中心から補助線と角度を図形に書きこんで、問題を解く助けにする。

　次に三角形ＯＢＣの外接円を書いて、外接円の中心から補助線と角度を図形に書きこんで、問題を解く助けにする。

以下の図のベクトルAＣのＸ方向の長さとＹ方向の長さを計算して、それから線分ＡＣとＤＣのなす角度を表す方程式を作る。

以下のように、線分OBの中点から見た、左側の点Aと、右側の点Cの各々のＸ方向の長さとＹ方向の長さを計算する。

ベクトルＡＣのＹ方向の長さとＸ方向の長さを計算する。

線分ＡＣとＤＣのなす角度を表す方程式を作り、それを解いて角θを求める。


ここで、sin70°の変換公式（群）を使って式を変形する。


こうして、求める角度θが求められた。
（解答おわり）

（補足１）
　この問題を解くためには、角度２０度や角度７０度の三角関数の式の公式群「sin70°の変換公式 」を使うことが必須だった。その公式群によって、計算をどちらの方向に進めたら良いかの計算の見通しがついた。

（補足２）
　この公式が、三角関数の式を単純化する計算の見通しを良くするために必要であるのは、複素数平面を使って問題を解く場合も同じである。すなわち、以下の公式が、計算を進めるために必要である。


リンク：
ラングレーの問題って？
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二重根号を外す問題（問２）の解答

以下の解答は、ここをクリックした先のページの問２の解答です。

ａ≧ｂ，　ｂ≧０の場合において：
【問２】　以下の式の二重根号を外せ。

（解答）

（解答おわり）

（補足）
問題の二重根号の式の最初の√の中の数２ａが根号を使わずにあらわされているとします。
そのａの二乗から２つ目（二重目）の√の中の数ａ^２－ｂ^２を引き算した数がｂ^２になります。ｂ^２が根号を使わないであらわされる数ｂの二乗の場合は、この二重根号は外すことができます。
ａ^２－（ａ^２－ｂ^２） ＝ｂ^２の平方根であるｂが、根号を使わないと表せない数である場合は、二重根号が外れません。

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二重根号を外す問題（問１）の解答

以下の解答は、ここをクリックした先のページの問１の解答です。

ａ≧０，　ｂ≧０の場合において：
 【問１】　以下の式の二重根号を外せ。

（解答）

（解答おわり）

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二重根号の外し方の４つの方法

この解答の元の問題はここをクリックした先のページにあります。

〔ページ内リンク〕
▷二重根号の外し方（方法１）
▷二重根号の外し方（方法２）
　▷二重根号が外せない場合
　▷簡易な計算方法
　　▷簡易公式２
▷二重根号の外し方（方法３）
▷二重根号の外し方（方法４）

【問】　以下の式の二重根号を外せ。

【注意】二重根号が外せない場合については後に説明しますので、先ずは、以下の、二重根号を外せる場合の説明を読んで下さい。

【二重根号の外し方（方法１）】
先ず、

と変形し、その右側の項の形にします。右側の項を、

と仮定した数ｘとａを求めます。

（以下の計算方針では、√３という数を含んでいない数（ｘ）と（ａ）を使って表わせる場合の解だけを求める計算をします。
√３を（ｘ）か（ａ）が含まざるを得なかったら、そこで計算を終わりにする覚悟をして、以下の計算をします）

この式の両辺を二乗します。

 

（ｘ）と（ａ）とが√３を含んでいない数であらわされるならば、

４＝ａ・（１＋３ｘ）　　　（１）
と、

がなりたつと考えることができます。
２つ目の式を更に簡単にすると、

１＝ａ^２ｘ　　　（２）
になります。

（２）より、

（３）を（１）に代入します。

この式から、

この式４を因数分解して解くと：
（ａ－１）（ａ－３）＝０
ａ＝１　or　３

ａ＝１の場合を（３）に代入すると、
ｘ＝１
よって、

です。
（ａ＝３の場合も：ｘ＝１／９になって、それを代入すると同じ答えになります） 

そのため、

になりました。

【二重根号の外し方（方法２）】
二重根号を外すもう１つの方法を説明します。
（原理について）

という形をしている２重根号は、以下の条件が成り立つ場合に外すことができます。
ａ＝ｘ＋ｙ　　　（５）
ｂ＝ｘ・ｙ　　　（６）
となるｘとｙを探します。
そのｘとｙがあれば、
　（７）
です。

となるからです。
式５と６の解のｘ、ｙを求めるということは、
ｘ^２－ａ・ｘ＋ｂ＝０　　　（８）
の解ｘ、ｙを求めることと同じです。この式８は、式４と同じ式になります。

（具体例について）
具体的な今回の以下の問題の場合は、以下のようにして解きます。

の場合は、

と変形します。
この様に、ルートの中の式は、ルートの２倍の項を含む式に変形して、答えを求めます。

を解く場合は、
（ｘ^２－４・ｘ＋３＝０　（式４）を解くのと同じですが）
ｘ＋ｙ＝　ａ＝４＝３＋１
ｘｙ＝　　　ｂ＝３＝３・１
がなりたちますので
ｘ＝３
ｙ＝１
が見つかりました。

です。
そのため、

です。
【二重根号が外せない場合】

という形をしている２重根号は、
ａ^２－４ｂの平方根の式が、その平方根記号を外せる場合は外すことができます。
ａ^２－４ｂ＝（ｘ＋ｙ）^２－４ｘｙ＝（ｘ－ｙ）^２
だからです。
　すなわち、
（ａ^２－４ｂ）の平方根＝｜ｘ－ｙ｜
であり、一方、
ａ＝ｘ＋ｙ
だったので、この２つの式からｘとｙが求められるからです。

しかし、（ａ^２－４ｂ）の平方根の式から平方根記号が外せ無いときは、先の式の二重根号を外すことができません。

【二重根号になった数のもつれをほどくだけ】
　任意のａとｂの場合を考えると、
ａ^２－４ｂの平方根の平方根記号（根号）が外れる場合はまれな場合であって、
ほとんどの場合は、その根号が外せないので、二重根号を外す事ができません。
　それでは、この方法は何の役に立つのだろうか？
という疑問がわくと思います。
　その疑問に対する答えは、以下のようなものです。
「計算のもつれによって、二重根号でない数が二重根号になる場合があります。
そのように「もつれた」数の「もつれ」をほどくだけです。」
【簡易な計算方法】
公式をすぐ導き出せるようにして公式を覚えないで良い方法を以下で示します。
ａ＝ｘ＋ｙ,　　　（５）
とした式(5)の未知数xとyを、以下の式のように未知数 z だけであらわす。すなわち、２つあった未知数をｚの１つだけにします。
ｘ＝（ａ＋ｚ）／２，
ｙ＝（ａ－ｚ）／２，
これを、
　（７）’
のｘとｙに代入してｚで表せば、
　（９）
になります。
この式９が、１つの未知数ｚだけで二重根号を外す式をあらわしています。
（この式９を覚えれば、公式は覚えないで良いと思います。）
式９の両辺を２乗して未知数ｚを求めます。

これで得られたｚを式９に代入すれば、以下の公式が得られます。

または、
《簡易公式２》

です。根号の中の式に、根号の中にｕがある項を持つので２重根号になっていた式は、根号の中の式に、根号の中にａ^２－ｕがある項を持つ式に変換できます。
二重根号を外す計算は、この公式を使って式を書き変えているだけです。
そして、
ａ^２－４ｂ（または、ａ^２－ｕ）の平方根の根号が外せる場合に限って、二重根号が外れます。

　なお、平方根の根号が外せる場合には、以下の場合の様に、無理数の２乗の数（自然数の２乗である平方数とは異なるが）になって平方根の根号が外れる場合もあります。


（蛇足）この公式により、上の式の右辺の、対になっている２つの二重根号の式は、上の式の左辺の１つの二重根号の式にまとめることができます。
　例えば、下の式では、下の式の左辺の２項を右辺の１つの項にまとめることができます。

ただし、この式の左辺を２乗すれば、すぐに右辺の式のルートの中が得られますので、この公式を覚えて使う必要はありません。

【二重根号の外し方（方法３）】
　４次方程式方の解き方が、二重根号付きの式を経て解に至る解き方と、二重根号を経ずに解が得られる解き方との、２つの解き方があることを利用して解きます。
　この方法は、４次方程式を解く計算でもつれさせてしまった答えの数を、もとの４次方程式に戻してから、答えをもつれさせない手順で４次方程式を解く方法です。

【簡易な計算方法】
　この計算方法から、計算の本質部分を抽出した結果、
以下の様な計算方法が見つかりました。
（１）

（２）

（３）

 （解答おわり）

【二重根号の外し方（方法４）】
方法４は、方法３に近い方法です。
以下の様にして二重根号を外します。

この式の中のｘ^２の値は式２で分かっているので、その値をこの式に代入します。

上の計算の途中で得た式３の右辺のｘ^２の係数の平方根は二重根号にはなりませんでした。
　ほかの式の場合も、同様に計算して式３に相当する式のｘ^２の係数の平方根が二重根号にならなければ、二重根号が外せます。
（解答おわり）

二重根号が外れない問題
リンク：二重根号の外し方
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