確率の難問の地道な解答方法

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
Ａ、Ｂ二人がコインを３枚ずつ持ち、じゃんけんして勝ったら相手からコイン一枚もらえ、先にどちらかのコインが無くなったらゲーム終了。
（ただし、あいこは回数には含まない。）
このとき、ちょうど９回で勝負が決まる確率を求めよ。

【解答１】 
　先ず、下図のように左から右に樹形図を書いて問題を整理します。

この樹形図の各枝は、事象の確率の太さを持ちます。この樹形図は、枝を束ねた合流点の節を持ちます。合流点の節では、その合流点の事象に至る樹形図の枝の確率の和の太さになります。
　上図の樹形図に、分岐した枝の太さ（確率）と合流点の節の太さ（確率）を地道に書き込みます。
　ここで、合流点の節から分岐する２つの枝の事象の確率は、どこから合流点に至ったかにかかわらず、１／２ずつです。
　こうして枝の確率を地道に書いていくと、
Ａが９回目に勝つ確率は
２７÷２^９
になります。
よって、ＡかＢかが９回目に勝つ確率＝２７×２÷２^９
＝２７×２^－８
です。
（解答おわり）

【解答２】
（問題を解く方針）
　場合の数を数え上げてこの問題を解く場合も、この樹形図（の一部）を書いて問題を図形化した上で、場合分けして、条件を満足する場合を地道に数えて答えを求めます。

Ａが９回目に勝つ場合は、上のグラフの道を通ります。Ａが９回目に勝つ全ての場合の数は、上のグラフの道の通り方の数になります。
９回目にＡが勝つ場合の数と９回目にＢが勝つ場合の数は等しいです。
求める確率は、
このグラフの道の通り方×２÷あらゆる場合の数
です。
あらゆる場合の数＝２の９乗
です。
以下で、このグラフの道の通り方を、場合分けして地道に数え上げます。

以上の場合の合計は：
4+4+3+2+4+3+2+3+2＝27
よって求める確率＝２７×２÷２^９
＝２７×２^－８
（解答おわり）

【解答３】
　この問題は、以下の図形に図形化したことが、問題を解くために本質的に重要でした。

解答２の樹形図の一部のグラフの道の通り方の数え方を、以下の様に工夫して数えてみます。
（解答はじめ）
Ａが９回目に勝つ場合は、上のグラフの道を通ります。Ａが９回目に勝つ全ての場合の数は、上のグラフの道の通り方の数になります。
９回目にＡが勝つ場合の数と９回目にＢが勝つ場合の数は等しいです。
求める確率は、
このグラフの道の通り方×２÷あらゆる場合の数
です。
あらゆる場合の数＝２の９乗
です。
　このグラフの道の通り方には、以下の２種類の場合があります。
（１）

（２）

（２）の場合の図のｙ通りの通り方のｙの値を、以下で場合分けして求めます。
（２－１）

（２－２）

よって、
ｙ＝３＋２＝５
です。
（３）
よってＡが９回目に勝つ全ての場合の数は、
１２＋３ｙ＝１２＋１５＝２７
です。
よって求める確率＝２７×２÷２^９
＝２７×２^－８
（解答おわり）

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