2016年12月27日火曜日

空試行を考える確率の入試問題4の解答

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問1】
中の見えない袋の中に同じ大きさの白球3個、赤球2個、黒球1個が入っている。
この袋から1球ずつ球を取り出し、黒球を取り出したときに袋から球を取り出すことをやめる。
ただし、取り出した球はもとに戻さない。
この試行を行なうとき、以下の問いに答えよ。
(1)取り出した球の中に、赤球がちょうど2個含まれる確率を求めよ。

(2006年 大阪府立大)

【基本樹形図による解答1】
先ず、問題の一部で良いので、とにかく図に書きます。
配置図を具体的図に書きます。
 以下の基本樹形図を書いて問題を整理します。
この樹形図は、以下の図のように、(赤球2つ模様数)の枝を分岐させた後で節に合流させ、その節から再び(赤模様中配置順数)の枝を分岐させた形で樹形図を書いています。
上図のように、樹形図の最小構成要素の糸の形を、根から展開し、節に収束させ、再び節から展開する、波状の形を持たせた樹形図です。

糸の太さ(確率)は、以下の事例で示すように、赤球の数と白球の数と黒球の数の合計数(以下の事例では4球)によって定まる。
すなわち、取り出す球の数が同じ場合は、出る球の順番がどうであれ、1本の事象の連鎖の糸の太さ(確率)が同じになる。
その理由は:
(そのイベントで、1つの事象が起きる確率)
=1/(そのイベントで選べる球の数)
だからであり、
(イベントの連鎖で1つの事象の連鎖(糸)が起こる確率)
=各イベントで1つの事象が起きる確率の積
だからです。

 この最細枝の確率に赤模様中配置順数と白模様中配置順数を掛け算すれば枝の太さが計算できる。
よって、それらの総和の、求める確率kは以下の式で計算できる。
(解答おわり)

【解答2】
(解答2の考え方)
  解答1で用いた基本樹形図は枝の末端の太さが揃っていないので不便です。
 解答1の球の並びの図の(1-1)では、3回目の球の取り出しで黒球を取り出したので、それ以上袋から球を取り出すことを止めます。
 しかし、(1-2)の場合では、3回では球の取り出しが終わっていないので、(1-1)が(1-2)の場合よりもどれだけ起こり得るのか、起こり得ないのか、比較するにはどうしたら良いか。
 これを改善するために、黒球が出た後でも、下図の様に球を取り出す空試行を行なう事を想定します。
 空試行を行なうことを反映して枝を再分割して、枝の末端の太さを揃えた以下の樹形図を作ることができます。
 この樹形図の意味は以下の様に考えます。
 上の樹形図のポイントを下図のように書き出します。
 解答1の(1-2)の場合の確率は、袋から3個の球を取り出して(1-2)の途中の状態に至る確率に、残りの3個の球のうち(黒)を取り出す1/3の確率を掛け算した値が最終的な(1-2)の確率です。
 ここで掛け算する1/3の確率は、袋から3球を取り出した後で残りの3個の球を選べる3つのバラエティのうちの1つを選んで(黒)を取り出す確率です。

 別の視点から考えると、
 解答1の(1-1)の後では、球が袋の中に3個の球が残っているので、その残りの白球の取り出しのバラエティが3!組あります。
 それに対し解答1の(1-2)の後では、(1-2)で4球を取り出すことでバラエティの一部が使われて、袋の中の球が2個に減ったので、その残りの白球の取り出しのバラエティが2!組に減りました。
 解答1の(1-1)、(1-2)それぞれの場合の数に、残り白球が選べるバラエティを掛け算した上で、全部の球6個を取り出すあらゆる場合の数の6!で割り算して求めた値が(1-1)と(1-2)それぞれの確率であるとも言えます。

 例えば、(1-1)の場合の確率を、
(1-1)の場合の数を、球を3個取り出す球の選択の自由度の数(=6×5×4)で割り算して求めた値は、
 (1-1)の場合の確率を、(1-1)の場合の数に3!のバラエティを掛け算した上で、全部の球6個を取り出すあらゆる場合の数の6!で割り算して求めた値と同じです。

どちらの計算方法で計算しても確率の値が変わらないのです。

 この計算方法は、確率の値が変わらない計算方法であって、玉を取り出す回数が変わっても通用する確率の計算方法です。

 結局、(1-1)でも(1-2)でも、(1-3)も、(1-4)も、残りの球も空試行で取り出す全ての場合の数を計算した上で、
それらの場合の数を、全部の球を取り出す場合の数6!で割り算した値が、それぞれの場合の確率を表しています。
 このように考えて枝を再分割した樹形図が解答2の樹形図です。

 解答2の樹形図を使って、それらの総和の、求める確率kは以下の式で計算できる。
(解答おわり)

 リンク:
高校数学の目次


0 件のコメント:

コメントを投稿